如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发

Question

如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm²）（不考虑点P与G、F重合的情况）．

（1）当x为何值时，OP∥AC；
（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：114²=12996，115²=13225，116²=13456或4.4²=19.36，4.5²=20.25，4.6²=21.16）

Answer 1

（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴(EG)/(AC)＝(FG)/(BC)，(4)/(8)＝(FG)/(6)
∴FG=(4×6)/(8)=3cm
∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC
∴OP∥AC
∴x=((1)/(2)FG)/(1)=(1)/(2)×3=1.5（s）
∴当x为1.5s时，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴(EG)/(AH)＝(EF)/(AF)＝(FG)/(FH)
∴AH=(4)/(5)（x+5），FH=(3)/(5)（x+5）
过点O作OD⊥FP，垂足为D

∵点O为EF中点
∴OD=(1)/(2)EG=2cm
∵FP=3-x
∴S_{四边形OAHP}=S_△AFH-S_△OFP
=(1)/(2)•AH•FH-(1)/(2)•OD•FP
=(1)/(2)•(4)/(5)（x+5）•(3)/(5)（x+5）-(1)/(2)×2×（3-x）
=(6)/(25)x²+(17)/(5)x+3（0＜x＜3）．

（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24
则S_{四边形OAHP}=(13)/(24)×S_△ABC
∴(6)/(25)x²+(17)/(5)x+3=(13)/(24)×(1)/(2)×6×8
∴6x²+85x-250=0
解得x₁=(5)/(2)，x₂=-(50)/(3)（舍去）
∵0＜x＜3
∴当x=(5)/(2)（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24．