已知AB为半圆的直径，P为半圆上一点，以A、B为焦点且过点P做椭圆，当点P在半圆上移动时，椭圆的离心率有（）A.最大值12B.最小值12C.最大值22D.最小值22

Question

已知AB为半圆的直径，P为半圆上一点，以A、B为焦点且过点P做椭圆，当点P在半圆上移动时，椭圆的离心率有（　　）
A. 最大值(1)/(2)
B. 最小值(1)/(2)
C. 最大值(√(2))/(2)
D. 最小值(√(2))/(2)

Answer 1

∵AB为半圆的直径，点P在半圆上．
∴∠APB=90°，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²．
根据基本不等式，得（|PA|+|PB|）²≤2（|PA|²+|PB|²）=2|AB|²，
∴|PA|+|PB|≤√(2)|AB|．
又∵以A、B为焦点的椭圆经过点P，
∴椭圆的长轴2a=|PA|+|PB|，焦距2c=|AB|，
由此可得椭圆的离心率e=(2c)/(2a)=(|AB|)/(|PA|+|PB|)≥(|AB|)/(√(2)|AB|)=(√(2))/(2)．
即当|PA|=|PB|时，椭圆的离心率有最小值(√(2))/(2)．
故选：D