已知函数f（x）=loga（x2-2x+5）（a>0），若f（2）=1log52，g（x）=2x-k．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）当x∈[1，3]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∩B=A，求实数k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=log_a（x²-2x+5）（a>0），若f（2）=(1)/(log52)，g（x）=2^x-k．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）当x∈[1，3]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∩B=A，求实数k的取值范围．

Answer 1

（本题满分为10分）
（Ⅰ）∵函数f（x）=log_a（x²-2x+5），满足f（2）=(1)/(log52)，
∴log_a5=(1)/(log52)=(log55)/(log25)=

log

5 2

，
∵a>0，a≠1，可得：a=2．…（5分）
（Ⅱ）∵x∈[1，3]，则x²-2x+5=（x-1）²+4∈[4，8]，
∴由（Ⅰ）可得：f（x）=log₂（x²-2x+5）∈[2，3]，
∴A=[2，3]，
∵当x∈[1，3]时，g（x）单调递增，g（x）=2^x-k∈[2-k，8-k]，
∴B=[2-k，8-k]，
∵f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，A∩B=A，
∴A⊆B，
∴2-k≤2，8-k≥3，
∴解得：k∈[0，5]．…（10分）