求证：log2[（14）a+（14）b]≥1-a-b．

Question

求证：log₂[（(1)/(4)）^a+（(1)/(4)）^b]≥1-a-b．

Answer 1

证明：∵((1)/(4))a＞0，((1)/(4))b＞0，
∴（(1)/(4)）^a+（(1)/(4)）^b≥2√(((1)/(4))a•((1)/(4))b)＝2√(((1)/(4))a+b)
=2√(2−2a−2b)＝2•2−a−b＝21−a−b，
∴log₂[（(1)/(4)）^a+（(1)/(4)）^b]≥log221−a−b＝1−a−b．
当且仅当a=b时等号成立．