命题p：正实数a，b满足a2+b2=1；命题q：正实数a，b满足a3+b3+1=m（a+b+1）3，若“p∧q”为真命题，则m的取值范围是[32−42，14）[32−42，14）．

Question

命题p：正实数a，b满足a²+b²=1；命题q：正实数a，b满足a³+b³+1=m（a+b+1）³，若“p∧q”为真命题，则m的取值范围是

[(3√(2)−4)/(2)，(1)/(4)）

[(3√(2)−4)/(2)，(1)/(4)）

．

Answer 1

∵正实数a，b满足a²+b²=1，∴令a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，(π)/(2)），t=cosθ+sinθ=√(2)sin（θ+(π)/(4)）
则t∈（1，√(2)]，sinθcosθ=(t2−1)/(2)．由a³+b³+1=m（a+b+1）³，得(1)/(m)=((a+b+1)3)/(a3+b3+1)=((sinθ+cosθ+1)3)/(sin3θ+cos3θ+1)
=((t+1)3)/(t(1−(t2−1)/(2))+1)=−(2(t+1)3)/(t3−3t−2)=-(2(t+1))/(t−2)，∴m=m（t）=-(1)/(2)+(3)/(2t+2)在（1，√(2)]上是递减函数，
∴m＜m（1）=(1)/(4)，
m≥m（√(2)）=(3√(2)−4)/(2)，故m的取值范围是[(3√(2)−4)/(2)，(1)/(4)）

故答案为：[(3√(2)−4)/(2)，(1)/(4)）