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如果关于x的方程(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)=0(其中a,b,c均为正数)有两个相等的实数根,证明:以a,b,c为长的线段能够组成一个三角形,并指出三角形的特征.
题目详情
如果关于x的方程(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)=0(其中a,b,c均为正数)有两个相等的实数根,证明:以a,b,c为长的线段能够组成一个三角形,并指出三角形的特征.
▼优质解答
答案和解析
证明:原方程可以整理成3x2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=0,
∵方程有两个相等的实数根,
∴[2(a+b+c)]2-4×3×(ab+bc+ac)=0,
整理得:4a2+4b2+4c2-4ab-4bc-4ac=0
2(a-b)2+2(b-c)2+2(a-c)2=0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
∴a=b=c,
∴三角形为等边三角形.
∵方程有两个相等的实数根,
∴[2(a+b+c)]2-4×3×(ab+bc+ac)=0,
整理得:4a2+4b2+4c2-4ab-4bc-4ac=0
2(a-b)2+2(b-c)2+2(a-c)2=0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
∴a=b=c,
∴三角形为等边三角形.
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