函数f(x),定义域是全体实数,若对任意的实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),f(0)≠0求证是f(X)偶函数

Question

函数f(x),定义域是全体实数,若对任意的实数x1 ,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),f(0)≠0
求证是f(X)偶函数

Answer 1

首先,f(x)的定义域是全体实数,其关于原点对称；
其次：
令x1=0、x2=0,则
等式左边=f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(0)、等式右边=2f(0)*f(0)
所以2f(0)=2f(0)*f(0)
由于f(0)≠0,所以f(0)=1
令x1=0,则左边=f(x2)+f(-x2)=右边=2f(0)f(x2)=2f(x2)
所以f(-x2)=f(x2),x2∈R.
即对于任何x,有f(x)=f(-x)
所以f(X)偶函数