高二数学---圆锥曲线已知抛物线x^2=2py（p＞0)的焦点F恰好是双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该曲线的离心率是多少?我的做法是：设交点坐标分别为（x1,y1)(x2,y2)

Question

高二数学---圆锥曲线
已知抛物线x^2=2py（p＞0)的焦点F恰好是双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该曲线的离心率是多少?
我的做法是：设交点坐标分别为（x1,y1) (x2,y2)因为双曲线的一个焦点和抛物线的焦点重合,则p/2=c →p=2c
联立两个方程,得 b^2y^2-2a^2py-a^2b^2=o 则y1+y2=2a^2p/b^2=2c 从而算出离心率为根号3 答案是1+根号2 请问哪里我做错了~
可是用别的方法（通径）算确实是1+根号2

Answer 1

你错在y1+y2=2a^2p/b^2=2c
这里y1+y2≠2c
y1+y2=a^2p/b^2
设交点坐标分别为（x1,y1) (x2,y2)
则x1^2=2py1,x2^2=2py2
两式相减得（x1-x2）*（x1-x2）=2p（y1-y2）
y1^2/a^2-x1^2/b^2=1,y2^2/a^2-x2^2/b^2
两式相减得b^2(y1-y2)*(y1+y2)=a^2（x1-x2）*（x1-x2）=2p（y1-y2）a^2
所以y1+y2=a^2p/b^2