泰勒公式与幂级数展开式有什么区别和联系?如题~

Question

泰勒公式与幂级数展开式有什么区别和联系?
如题~

Answer 1

虽然两者形式相似,但是是完全不同的概念,这个要回到定义里面.
泰勒公式的最后有个无穷小量,比如e^x=1+x+o(x),这个无穷小量只有在x趋近于x0时才能是无穷小（假设函数在x0附近展开,比如上面的例子是把e^x在0的附近展开）.至于需要展开几项在数学上是随意的,实际应用的时候跟需要的近似计算的精度有关系.
幂级数从定义看是个函数项级数,求级数的过程是先求前n项和,再对n趋于无穷求极限.求极限之后的展开式只要在收敛半径内都是成立的.比如e^x=1+x+...这个展开式在整个实数轴（或者说整个复平面）上都是成立的.
也就是说两个式子都是极限式,泰勒公式要求x→x0,幂级数要求n→∞.
（当然一般情况下见到的幂级数都是在0处展开的,但是也存在在x0处展开的幂级数,所以这儿不是区别.）