一个四位数,从中间分为两个数,这两个数的和的平方还等于这个数,求这个数?

Question

一个四位数,从中间分为两个数,这两个数的和的平方还等于这个数,求这个数?

Answer 1

有且只有3个：9801,2025,3025.
设分开后的两数为a,b：
则,(a+b)^2=100*a+b
即,(a+b)*(a+b-1)=99*a
①a+b=99,a=98即9801；
②令a=x*y,(x>y),则
　(a+b)*(a+b-1)=99*x*y
=9*11*x*y
若9*x-11*y=±1,也符合题意,
(此时：a+b=9*x或11*y ☆ )
　即,9的倍数除以11的余数为1或10,
　　　9的倍数除以11的余数依次为：
　9、7、5、3、1、10、8、6、4、2、0、9、…
　共11个,然后循环,
所以,x=5+11*k或6+11*k(k为自然数)
x=5则y=4或x=6则y=5(k=0)
a=20或30,代入☆,解得b=25
(即2025或3025；)
或k=1,则x*y=16*13或17*14（>100）
　k≥1时,均不合题意；
③(a+b)*(a+b-1)=3*3*11*x*y(质因数全部分解),
　同②,若3*x-33*y=±1,也符合题意,
但3的倍数除以33的余数,为3的倍数,不可能为±1,
综上所述,符合题意的数,
有且只有3个：9801,2025,3025.