已知直线l1:2x+y-1=0,l2:x+2y-2=0,求倾斜角是45°的直线交两直线l1,l2的线段的中点的轨迹方程

Question

已知直线l1:2x+y-1=0,l2:x+2y-2=0,求倾斜角是45°的直线交两直线l1,l2的线段的中点的轨迹方程

Answer 1

设倾斜角是45°的直线为 y=x+b,它与直线l1,l2分别相交于A,B
由 2x+y-1=0 ,y=x+b 得 3x=1-b x=(1-b)/3 y=(1-b)/3+b=(1+2b)/3
所以A[(1-b)/3,(1+2b)/3]
由 x+2y-2=0 ,y=x+b 得 3x+2b-2=0 x=2(1-b)/3, y=2(1-b)/3+b=(2+b)/3
所以B[(2-2b)/3,(2+b)/3]
AB的中点是 x=1/2[(1-b)/3+(2-2b)/3]=1/2(1-b)
y=1/2[(1+2b)/3+(2+b)/3]=1/2(1+b)
x+y=1/2(1-b+1+b)
x+y=1就是所求的轨迹方程
从几何意义来说,是直线l1,l2 的交点C,与A,B,组成的三角形ABC中,AB边上的中线