已知定义在R上的函数f（x）满足条件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）对非零实数x，都有2f（x）+f（1x）=2x+1x+3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f(x)2−2x（x≥0）直线y=2n-x分别

Question

已知定义在R上的函数f（x） 满足条件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）对非零实数x，都有2f（x）+f（(1)/(x)）=2x+(1)/(x)+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=√(f(x)2−2x)（x≥0）直线 y=√(2)n-x分别与函数f（x） 的反函数 交于A，B两点
（其中n∈N*），设 a_n=|A_nB_n|，s_n为数列a_n 的前n项和．求证：当n≥2 时，总有 S_n²＞2（(s2)/(2)+(s3)/(3)+…+(sn)/(n)）成立．

Answer 1

（1）由②知x≠0时

2f(x)+f((1)/(x))＝2x+(1)/(x)+3

2f(x)+f(x)＝(2)/(x)+x+3

⇒

f(x)＝x+1(x≠0)

f(0)＝1

⇒f（x）=x+1（4分）
（2）g（x）=√(x2+1)由

y＝√(x2+1)

y＝√(2)n−x

⇒A_n（(2n2−1)/(2√(2)n)，(2n2+1)/(2作业帮用户2017-11-01举报问题解析（1）令解析式中的x用(1)/(x)代入，得到一个方程组，消去f（(1)/(x)）可求出函数的解析式；（2）先求出An的坐标，依题意得Bn与An关于y=x对称求出Bn的坐标，求出an，从而求出Sn，将sn2-sn-12进行累加可求证得结论．名师点评本题考点：数列与函数的综合；函数解析式的求解及常用方法；数列与不等式的综合．考点点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及数列的通项公式和求和，同时考查了利用累加法证明不等式，属于难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)