已知在正整数列{an}中,前n项和Sn满足:4Sn=(an+1)²1）{an}的通项公式（2）设bn=an*a（n-1）角标,求数列{bn}的前n项和Tn(3)是否存在自然数m,使得对任意n属于正整数,都有Tn>1/4（m-8）存在?若存在,求出

Question

已知在正整数列{an}中,前n项和Sn满足:4Sn=(an+1)²
1）{an}的通项公式
（2）设bn=an*a（n-1）角标,求数列{bn}的前n项和Tn
(3)是否存在自然数m,使得对任意n属于正整数,都有Tn>1/4（m-8）存在?若存在,求出m的最大值；若不存在,请说明理由

Answer 1

(1)由4Sn=(an+1)^2
得4S(n+1)=(a(n+1)+1)^2 两式相减
4a(n+1)=[a(n+1)+an+2]*[a(n+1)-an]
化简2(a(n+1)+an)=(a(n+1)+an)(a(n+1)-an)
因为{an}是 正项数列
所以a(n+1)-an=2 ,即数列是等差数列,公差是d=2.
在4Sn=(an+1)^2 中,令n=1 得到a1=1
所以an=1+2(n-1)=2n-1
(2)bn=ana(n-1)=4n^2-8n+3
Tn=4(1+2²+3²+...+n²)-8(1+2+3+...+n）+3n
=4[n(n+1)(2n+1)/6]-8[n(n+1)/2]+3n
=(1/3)n(4n²-6n-1）