已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{an+1}为等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中数列{an}，若数列{bn}满足bn=log2（an+1）（n∈N*），在bk

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中数列{a_n}，若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k与b_k+1之间插入2^k-1（k∈N^*）个2，得到一个新的数列{c_n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c_n}的前m项的和T_m=2013？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由S_n=2a_n-n，得S_n+1=2a_n+1-（n+1），
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，a_n+1=2a_n+1，
则a_n+1+1=2（a_n+1），
∴(an+1+1)/(an+1)＝2．
又当n=1时，S₁=2a₁-1，得a₁=1，a₁+1=2．
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1=（a₁+1）2^n-1=2ⁿ，故a_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得b_n=log₂2ⁿ，即b_n=n（n∈N^*）．
数列{c_n}中，b_k（含b_k项）前的所有项的和是：
（1+2+3+…+k）+（2⁰+2¹+2²+…+2^k-2）2=(k(k+1))/(2)+2^k-2．
当k=10时，其和是55+2¹⁰-2=1077＜2013．
当k=11时，其和是66+2¹¹-2=2112＞2013．
又∵2013-1077=936=468×2，是2的倍数，
∴当m=10+（1+2+2²+…+2⁸）+468=989时，T_m=2013．
∴存在m=989，使得T_m=2013．