桌面上有1张正方形纸片,每次允许你从桌面拿起一张纸片,沿着某条直线把它剪成2块,然后放回桌面,如此继续下去.请问：至少需要剪多少刀,才能得到100个20边形?并对你的结论加以证明.

Question

桌面上有1张正方形纸片,每次允许你从桌面拿起一张纸片,沿着某条直线把它剪成2块,然后放回桌面,如此继续下去.请问：至少需要剪多少刀,才能得到100个20边形?并对你的结论加以证明.

Answer 1

【每次只能剪一张纸.】
因为沿直线剪,所以一定是凸多边形,不会出现凹多边形.
因为是凸多边形,所以每刀最多过2条边,将1个凸多边形变成2个凸多边形,因此最多多出2+2=4条边（2条是原有的2条边变4条多出来的,2条是剪刀路径线多出来的）.
对于原来一个多边形来说,最多增加一条边,此时多出一个三角形.
例如,4=》（3,5）或者（4,4） 一个四边形,剪一刀后,可以变成（1个三角形+1个五边形）或者（2个四边形）】
3=》（3,4）
4=》（3,5）、（4,4）
5=》（3,6）、（4,5）
6=》（3,7）、（4、6）、（5、5）
7=》（3,8）、（4、7）、（5、6）
=======
因此,第一个20边形,需要20-4=16刀.
其他20边形,需要20-3=17刀.（其他从三角形开始剪）
100个20边形,需要：
16+99*17 = 1699刀.