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如图①、②是小明在一次课外活动中剪的两块直角三角形硬纸板.图①中,∠C=90°,∠A=45°,AC=4cm;图②中,∠F=90°,∠D=30°,EF=6cm.操作:小明将两块三角形硬纸板如图③所示放置,将△A
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如图①、②是小明在一次课外活动中剪的两块直角三角形硬纸板.图①中,∠C=90°,∠A=45°,AC=4cm;图②中,∠F=90°,∠D=30°,EF=6cm.操作:小明将两块三角形硬纸板如图③所示放置,将△ABC的直角边CB与△DEF的斜边DE重合,点B与点E重合,使△ABC沿ED方向向下滑动,当点C与点D重合时停止运动.
解决问题:
(1)在△ABC沿ED方向滑动的过程中,A、E两点间的距离逐渐______.(填“不变”、“变大”或“变小”).
(2)假如△ABC沿ED方向以每秒1cm的速度向下滑,小明经过进一步地探究,设想了如下几个问题:
问题①:当△ABC向下滑动多少秒,A、E的连线与DF平行?
问题②:在△ABC向下滑动多少秒,以线段DC、AE、EF的长度为三边长的三角形恰好构成直角三角形?
问题③:在△ABC向下滑动的过程中,是否存在某个位置,使得∠AEC=15°?如果存在,求出下滑时间;如果不存在,请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程.
解决问题:
(1)在△ABC沿ED方向滑动的过程中,A、E两点间的距离逐渐______.(填“不变”、“变大”或“变小”).
(2)假如△ABC沿ED方向以每秒1cm的速度向下滑,小明经过进一步地探究,设想了如下几个问题:
问题①:当△ABC向下滑动多少秒,A、E的连线与DF平行?
问题②:在△ABC向下滑动多少秒,以线段DC、AE、EF的长度为三边长的三角形恰好构成直角三角形?
问题③:在△ABC向下滑动的过程中,是否存在某个位置,使得∠AEC=15°?如果存在,求出下滑时间;如果不存在,请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据图1知,在△ABC沿ED方向滑动的过程中,A、E两点间的距离逐渐变大.
(2)问题①:如图2,∵∠F=90°,∠D=30°,EF=6cm
∴DE=12cm.
∵∠ACB=90°,∠A=45°,AC=4cm
∴BC=AC=4cm
连接AE,设AE∥DF.
∴∠AEC=∠D=30°,
∴在Rt△ACE中,EC=4
cm
∴BE=EC-BC=(4
-4)cm,
∴△ABC向下滑动的时间是(4
-4)÷1=4
-4(秒),即当△ABC向下滑动(4
-4)秒时,A、E的连线与DF平行;
问题②:设CD=x,在Rt△ACE中,AE2=EC2+AC2=(12-x)2+16,
∵DE=12cm,BC=4cm,
∴CD≤8cm,
(I)当AE为斜边时,
由CD2+EF2=AE2得,x2+62=(12-x)2+16,x=
,
∴此时△ABC向下滑动的时间是
÷1=
(秒);
(II)当CD为斜边时,
由AE2+EF2=CD2得,(12-x)2+16+62=x2,x=
>8(不合题意舍去);
(III)当EF为斜边时,
由CD2+AE2=EF2得,x2+(12-x)2+16=36,x2-24x+160=0,
方程无解,
∴由(I)、(II)、(III)得,当△ABC向下滑动
秒时,以线段DC、AE、EF的长度为三边长的三角形恰好构成直角三角形;
问题③:不存在这样的位置,使得∠AEC=15°.
理由如下:
假设∠AEC=15°,则∠EAB=180°-∠AEC-∠ABE=30°.
如图3,过点A作∠BAE的平分线,交DE于点P.
则∠1=∠2=15°,∠CAB+∠3=60°,
∴∠APC=30°,这与∠APC>∠AEC相矛盾.∴不存在这样的位置,使得∠AEC=15°.
故答案为:变大.
(2)问题①:如图2,∵∠F=90°,∠D=30°,EF=6cm
∴DE=12cm.
∵∠ACB=90°,∠A=45°,AC=4cm
∴BC=AC=4cm
连接AE,设AE∥DF.
∴∠AEC=∠D=30°,
∴在Rt△ACE中,EC=4
3 |
∴BE=EC-BC=(4
3 |
∴△ABC向下滑动的时间是(4
3 |
3 |
3 |
问题②:设CD=x,在Rt△ACE中,AE2=EC2+AC2=(12-x)2+16,
∵DE=12cm,BC=4cm,
∴CD≤8cm,
(I)当AE为斜边时,
由CD2+EF2=AE2得,x2+62=(12-x)2+16,x=
31 |
6 |
∴此时△ABC向下滑动的时间是
31 |
6 |
31 |
6 |
(II)当CD为斜边时,
由AE2+EF2=CD2得,(12-x)2+16+62=x2,x=
49 |
6 |
(III)当EF为斜边时,
由CD2+AE2=EF2得,x2+(12-x)2+16=36,x2-24x+160=0,
方程无解,
∴由(I)、(II)、(III)得,当△ABC向下滑动
31 |
6 |
问题③:不存在这样的位置,使得∠AEC=15°.
理由如下:
假设∠AEC=15°,则∠EAB=180°-∠AEC-∠ABE=30°.
如图3,过点A作∠BAE的平分线,交DE于点P.
则∠1=∠2=15°,∠CAB+∠3=60°,
∴∠APC=30°,这与∠APC>∠AEC相矛盾.∴不存在这样的位置,使得∠AEC=15°.
故答案为:变大.
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