古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）下图反映

Question

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；

①1=1
②1+2=((1+2)×2)/(2)=3
③1+2+3=((1+3)×3)/(2)=6
④

1+2+3+4=((1+4)×4)/(2)

1+2+3+4=((1+4)×4)/(2)

；
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式

1+2+3+…+9=((1+9)×9)/(2)

1+2+3+…+9=((1+9)×9)/(2)

；
（3）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．

①1=1²
②1+3=2²
③3+6=3²
④6+10=4²
⑤______；
（4）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式

((1+n−1)(n−1))/(2)+((1+n)×n)/(2)=n²

((1+n−1)(n−1))/(2)+((1+n)×n)/(2)=n²

；
（5）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？

Answer 1

（1）④1+2+3+4=(1+4)×42；（2）第九个点阵相应的等式：1+2+3+…+9=(1+9)×92；（3）⑤10+15=52；（4）第n个点阵相对应的等式：(1+n−1)(n−1)2+(1+n)×n2=n2；（5）∵225=152，∴225是正方形数，可以看作是14、15...