已知α,β是方程x2^-2mx+m-6=0的两个实数根,求(α-1)2^+(β-1)2^的最值

Question

已知α,β是方程x2^-2mx+m-6=0的两个实数根,求(α-1)2^+(β-1)2^的最值

Answer 1

由韦达定理:
α+β=2m;
α·β=m-6;
而(α-1)2^+(β-1)2^
=α^2 + β^2 -2(α+β) +2
=(α+β)^2 -2(α+β) -2α·β +2
=(2m)^2 -2·(2m) -2·(m-6) +2
=4m^2 -6m +14
=4(m-3/4)^2 +47/4;
而方程x2^-2mx+m-6=0有两个实数根,则:其判别式
△=4m^2 -4(m-6)
=4m^2 -4m +24
＞0
→m^2 -m +6 ＞0; 由于1^2-4×1×6＜0,故m为任意实数;
则(α-1)2^+(β-1)2^=4(m-3/4)^2 +47/4
≥47/4
最小值为47/4 ;
无最大值