在n重伯努利试验中，若每次试验成功的概率为p，则成功次数是奇数次的概率为12[1−(1−2p)n]12[1−(1−2p)n]．

Question

在n重伯努利试验中，若每次试验成功的概率为p，则成功次数是奇数次的概率为

(1)/(2)[1−(1−2p)n]

(1)/(2)[1−(1−2p)n]

．

Answer 1

设成功次数为随机变量X，则P(X＝k)＝

C

k n

pkqn−k（k=0，1，2，…，n），其中q=1-p
∴设成功次数是偶数次的概率为Y，则
Y＝

C

0 n

qn+

C

2 n

p2qn−2+…
∴成功次数是奇数次的概率为1-Y
由于(q+p)n＝

C

0 n

qn+

C

1 n

pqn−1+

C

2 n

p2qn−2+…+

C

n n

pn，
(q−p)n＝

C

0 n

qn−

C

1 n

pqn−1+

C

2 n

p2qn−2−…+

C

n n

pn，
∴2Y=（q+p）ⁿ+（q-p）ⁿ=1+（q-p）ⁿ
∴1−Y＝1−(1)/(2)[1+(q−p)n]=(1)/(2)[1−(1−2p)n]