已知抛物线y=x2+2px+2p-2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．

Question

已知抛物线y=x²+2px+2p-2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．

Answer 1

（1）∵△=4p²-8p+8=4（p-1）²+4＞0，
∴抛物线与x轴必有两个不同交点．
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），
则|AB|²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²-8p+8=4（p-1）²+4，
∴|AB|=2√((p−1)2+1)．
又设顶点M（a，b），由y=（x+p）²-（p-1）²-1．
得b=-（p-1）²-1．
当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S_△ABM=(1)/(2)|AB||b|取最小值1．