工科数学分析下册（丁晓庆）,习题21.3,15设{an}是严格单调减收敛于0的数列,记An=(a1+a2+……an)/n.证明：（1）数列{An}是严格单调减数列；（2）数列{An}收敛于0；尽量用收敛定义证明.（3）级数连

Question

工科数学分析下册（丁晓庆）,习题21.3,15设{an}是严格单调减收敛于0的数列,记An=(a1+a2+……an)/n.
证明：（1）数列{An}是严格单调减数列；
（2）数列{An}收敛于0；尽量用收敛定义证明.
（3）级数连加符号从n=1到无穷[（-1）^n]An是收敛的.

Answer 1

设 Sn=a1+a2+……an.则 S_{n+1}=S_n+a_{n+1}.由于 a_n 严格单调递减,故 S_n>n a_{n+1} (因为 a_1>a_2>...>a_n>a_{n+1}.
A_{n+1}-A_n=S_{n+1}/(n+1)- S_n/n= (S_n+a_{n+1})/(n+1)- S_n/n = a_{n+1}/(n+1)- S_n/(n(n+1))