已知（ax+b）2n=a2nx2n+a2n-1x2n-1+…+a2x2+a1x+a0（n∈N*，常数a＞b＞0）．设Tn=a0+a2+…+a2n，Rn=a1+a3+…+a2n-1，则下列关于正整数n的不等式中，解集是无限集的是（）A．Tn＜RnB．Tn＞1.1RnC．Rn＜0.9TnD．

Question

已知（ax+b）²ⁿ=a_2nx²ⁿ+a_2n-1x^2n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀（n∈N^*，常数a＞b＞0）．设T_n=a₀+a₂+…+a_2n，R_n=a₁+a₃+…+a_2n-1，则下列关于正整数n的不等式中，解集是无限集的是（　　）

A．T_n＜R_n
B．T_n＞1.1R_n
C．R_n＜0.9T_n
D．R_n＞0.99T_n

Answer 1

在（ax+b）²ⁿ=a_2nx²ⁿ+a_2n-1x^2n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀（n∈N^*，常数a＞b＞0）中，
令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1 +a_n=（a+b）²ⁿ  ①，
令x=-1，可得得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1 +a_2n=（-a+b）²ⁿ  ②．
由①②求得 T_n=a₀+a₂+…+a_2n =((a+b)2n+(−a+b)2n)/(2)，R_n=a₁+a₃+…+a_2n-1=((a+b)2n−(−a+b)2n)/(2)．
由a＞b＞0，可得T_n＞R_n＞0，故排除A．
由于

lim

n→∞

(Tn)/(Rn)=

lim

n→∞

((a+b)2n+(a−b)2n)/((a+b)2n−(a−b)2n)=

lim

n→∞

(1+((a−b)/(a+b))2n)/(1−((a−b)/(a+b))2n)=(1+0)/(1−0)=1，
由极限的保号性可得，B、C均为有限解，D有无穷解，
故选：D．