已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=ana(n+1)/2,其中a1=1.若不等式1/[a(n+1)]+1/[a(n+2)]+1/[a(n+3)]+…+1/[a(2n)]>[(1/12)*log(a-1)+(2/3)]对一切大于1的正整数n均成立,试求实数a的取值范围.是大于[(1/12)

Question

已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=ana(n+1)/2,其中a1=1.
若不等式1/[a(n+1)]+1/[a(n+2)]+1/[a(n+3)]+…+1/[a(2n)]>[(1/12)*log(a-1)+(2/3)]对一切大于1的正整数n均成立,试求实数a的取值范围.
是大于[(1/12)*loga(a-1)+(2/3)]

Answer 1

S[n]=a[n]a[n+1]/2
S1=a1a2/2
所以 a2=2
S[n]=a[n]a[n+1]/2
一方面 S[n+1]=a[n+1]a[n+2]/2
另一方面 S[n+1]=S[n]+a[n+1]=a[n]a[n+1]/2+a[n+1]
即 a[n+1]a[n+2]/2=a[n]a[n+1]/2+a[n+1]
因 an各项均不为零,所以
解得 a[n+2]=a[n]+2
而 a1=1,a2=2,从而容易得到 a[n]=n
令 f(n)=1/[a(n+1)]+1/[a(n+2)]+1/[a(n+3)]+…+1/[a(2n)]
则 f(n+1)=1/[a(n+2)]+1/[a(n+3)]+1/[a(n+4)]+…+1/[a(2n)]+1/[a(2n+1)]+1/[a(2n+2)]
f(n+1)-f(n)=1/[a(2n+1)]+1/[a(2n+2)]-1/[a(n+1)]
=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)
=1/(2n+1)-1/(2n+2)>0
即f(n+1)>f(n)
现在要 f(n)>[(1/12)*loga(a-1)+(2/3)]对一切大于1的正整数n均成立,只需要f(n)的最小值满足不等式即可.
而f(n)1时,{f(n)}的最小值是 f(2)
而 f(2)=1/a3+1/a4= 1/3+1/4=7/12
所以就是 要下式成立
[(1/12)*log[a](a-1)+(2/3)]1
所以有
log[a](a-1)