高数!函数连续的问题……证明：实系数奇数次代数方程至少有一个实根.

Question

高数!函数连续的问题……
证明：实系数奇数次代数方程至少有一个实根.

Answer 1

设f(x)是一个实系数奇数次多项式,则
x→＋∞时,f(x)→＋∞,所以存在X1＞0,使得f(x1)＞0
x→－∞时,f(x)→－∞,所以存在X2＜0,使得f(x2)＜0
f(x)在[X2.X1]上连续,由零点定理,至少存在一点ξ∈(X2,X1),使得f(ξ)＝0,即方程f(x)＝0至少有一个实数根.
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用代数的方法证明：在实数域内分解多项式f(x)时,因为代数方程的复数根是成对出现的,且多项式是奇数次的,所以f(x)至少可以分解出一个一次因式,所以方程至少有一个实数根