大一高数求解答!证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限.（提示：利用a^2+b^2≥2ab证明[Xn]单调有界）

Question

大一高数求解答!证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限
证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限.（提示：利用a^2+b^2≥2ab 证明 [Xn]单调有界）

Answer 1

Xn+1=1/2(Xn+2/Xn)≥√2,n∈N
Xn+1-Xn=1/2(2/Xn-Xn),Xn≥√2,n＞1,单调递减
∴Xn+1-Xn≤1/2(2/√2-√2)=0,n＞1,
∴数列{Xn}单调递减有下界
∴数列{Xn}收敛.
limXn+1=lim1/2(Xn+2/Xn)
设limXn=A
则,A=1/2(A+2/A)
∴A=√2