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双曲函数sh(a+b)=sh(a)ch(b)+ch(a)sh(b)
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双曲函数sh(a+b)=sh(a)ch(b)+ch(a)sh(b)
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答案和解析
sh(a+b)=[e^(a+b)-e^(-a-b)]/2
=[e^(a+b)+e^(a-b)-e^(a-b)-e^(-a-b)]/2
=[e^a*(e^b+e^(-b))-e^(-b)*(e^a+e^(-a))]/2
=e^a*[e^b+e^(-b)]/2-e^(-b)*[e^a+e^(-a)]/2
=e^a*ch(b)-e^(-b)*ch(a)
同理,sh(a+b)=[e^(a+b)-e^(-a-b)]/2
=[e^(a+b)+e^(-a+b)-e^(-a+b)-e^(-a-b)]/2
=[e^b*(e^a+e^(-a))-e^(-a)*(e^b+e^(-b))]/2
=e^b*[e^a+e^(-a)]/2-e^(-a)*[e^b+e^(-b)]/2
=e^b*ch(a)-e^(-a)*ch(b)
两式相加,2*sh(a+b)=[e^a-e^(-a)]*ch(b)+[e^b-e^(-b)]*ch(a)
所以sh(a+b)=sh(a)*ch(b)+sh(b)*ch(a)
=[e^(a+b)+e^(a-b)-e^(a-b)-e^(-a-b)]/2
=[e^a*(e^b+e^(-b))-e^(-b)*(e^a+e^(-a))]/2
=e^a*[e^b+e^(-b)]/2-e^(-b)*[e^a+e^(-a)]/2
=e^a*ch(b)-e^(-b)*ch(a)
同理,sh(a+b)=[e^(a+b)-e^(-a-b)]/2
=[e^(a+b)+e^(-a+b)-e^(-a+b)-e^(-a-b)]/2
=[e^b*(e^a+e^(-a))-e^(-a)*(e^b+e^(-b))]/2
=e^b*[e^a+e^(-a)]/2-e^(-a)*[e^b+e^(-b)]/2
=e^b*ch(a)-e^(-a)*ch(b)
两式相加,2*sh(a+b)=[e^a-e^(-a)]*ch(b)+[e^b-e^(-b)]*ch(a)
所以sh(a+b)=sh(a)*ch(b)+sh(b)*ch(a)
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