已知函数f（x）=-ae2x+（2-a）ex+x，其中a为常数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数h（x）=ln（2a-ex）+2aex-x-2（a＞0），求使得h（x）≤0成立的x的最小值；（Ⅲ）已知方程f（x）=0

Question

已知函数f（x）=-ae^2x+（2-a）e^x+x，其中a为常数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数h（x）=ln（(2)/(a)-e^x）+2ae^x-x-2（a＞0），求使得h（x）≤0成立的x的最小值；
（Ⅲ）已知方程f（x）=0的两个根为x₁，x₂，并且满足x₁＜x₂＜ln(2)/(a)．求证：a（ex1+ex2）＞2．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=（2ex+1）（-aex+1），①当a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（-∞，+∞）上为单调递增函数；②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＜ln1a，令f′（x）＜0，解得：x＞ln1a，∴函数f（x）在（-∞，...