已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1,若函数f(x)没有零点,求实数k的取值范围如果,我先设（x-1）=t然后得方程ln（t）+t/t与k的关系来解题,行吗,那下面又该如何继续.

Question

已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1,若函数f(x)没有零点,求实数k的取值范围
如果,我先设（x-1）=t 然后得方程ln（t）+t/t 与k的关系 来解题,行吗,那下面又该如何继续.

Answer 1

当k≤0时,在[2,+∞）上有f（x）＞0,不满足题意
当k＞0时,f‘（x）=1/（x-1）-k,
f（x）有极大值也是最大值f（1+1/k）=ln（1/k）
∵f（x）≤0恒成立
∴只需f（x）的最大值ln（1/k）≤0 解得k≥1
综上,k∈[1,+∞）