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设函数f(x,y)在R2内具有一阶连续偏导数,且∂f∂x=2x,证明曲线积分∫L2xydx+f(x,y)dy与路径无关.若对任意的t恒有∫(t,1)(0,0)2xydx+f(x,y)dy=∫(1,t)(0,0)2xydx+f(x,y)dy,求f(x,y

题目详情
设函数f(x,y)在R2内具有一阶连续偏导数,且
∂f
∂x
=2x,证明曲线积分
 
L
2xydx+f(x,y)dy与路径无关.若对任意的t恒有
(t,1)
(0,0)
2xydx+f(x,y)dy=
(1,t)
(0,0)
2xydx+f(x,y)dy,求f(x,y)的表达式.
▼优质解答
答案和解析
证明:因为∂f∂x=2x∂(2xy)∂y,故曲线积分∫ L2xydx+f(x,y)dy与路径无关.因此设f(x,y)=x2+g(y),从而有∫(t,1)(0,0)2xydx+f(x,y)dy=∫t00dx+∫10[t2+g(y)]dy=t2+∫10g(y)dy,而∫(1,t)(0,0)2...