如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m的圆形广场(圆心为O)与此公路一边所在直线l相切于点A．点P为北半圆弧(弧APB)上的一点，过P作直线l的垂线，垂足为Q．计划在ΔPAQ内(图中阴影部分)

Question

如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m的圆形广场(圆心为O)与此公路一边所在直线l相切于点A．点P为北半圆弧(弧APB)上的一点，过P作直线l的垂线，垂足为Q．计划在ΔPAQ内(图中阴影部分)进行绿化．设ΔPAQ的面积为S(单位：)．
(1)设∠BOP=α(rad)，将S表示为α的函数；
(2)确定点P的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

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Answer 1

【分析】(1)若∠BOP=α，则P点坐标(x，y)中，x=AQ=100sinα，y=PQ=100+100cosα，α∈(0，π)，根据三角形面积公式，我们易将S表示为α的函数．
(2)由(1)中结论，我们可利用导数法，判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，即最大绿化面积．

(1)AQ=100sinα，PQ=100+100cosα，α∈(0，π)，
则ΔPAQ的面积
=5000(sinα+sinαcosα)，(0<α<π)．
(2)S'=5000(cosα+cos²α-sin²α)
=5000(2cos²α+cosα-1)
=5000(2cosα-1)(cosα+1)，
令，cosα=-1(舍去)，此时．
当时，，关于α为增函数；
当时，，关于α为减函数．
∴当时，(m²)，此时PQ=150m．
答：当点P距公路边界l为150m时，绿化面积最大，

【点评】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数的模型，及利用导数计算，闭区间上函数的最值．在构造函数时，一定要根据P为北半圆弧(弧APB)上的一点，限制0<α<π，这是本题中易忽略的点．