用0,1,2,3....9这10个数字组成6个质数,每个数字至多用一次,每个质数都不大于500,那么共有多少种不同的组在6个质数的方法,请将所有方法都列举出来.

Question

用0,1,2,3....9这10个数字组成6个质数,每个数字至多用一次,每个质数都不大于500,那么共有多少种不同的组在6个质数的方法,请将所有方法都列举出来.

Answer 1

一共有两组答案：
第一组是：2，5，61，409，83，7
第二组是：2，5，67，401，89，3
思考过程如下：
由于素数里面除2外都是奇数，而0～9只能挤出5个奇数，
故，这六个素数中必有素数2;
其他每个奇数都要组成一个素数；
有结论：每个奇数在素数中只能用一次——记为结论1
由于0不能放在数的最高位，
故0必用在103 107 109 307 401 409中(这些数来自楼上)；
再由结论1可知：
0必用在401或409中;(可以看出4一定和0出现在一起)(记为结论2)
再考虑5，由于大于5的任何以5结尾的数必是5的倍数，
故5只能单独成为一个素数：
由偶数只剩6，8两个，奇数剩3,7及9或1中的一个～
由于所有素数都小于500，故不可能出现68X，或86X之类的数
即6和8不能成双出现在素数中，而以6开头的素数有61 67；
以8开头的素数有83 89；
若6和1搭配成61则由结论2知素数中必有409,剩下8,3,7只能组合出7和83，得到一个答案！
若6和7搭配成67,则剩下8,3及9或1中的一个,8可以和3或9搭配：
——若8和3搭配，则9或1必有一数单独成素数,但9或1都不是素数,矛盾！
——若8和9搭配，1只能存在于401中，剩下3单独成素数，又一个答案！
故这题有两组答案
第一组是：2，5，61，409，83，7
第二组是：2，5，67，401，89，3