关于阿基米德线的困惑求阿基米德线r=aθ在0≤θ≤2∏的弧长?法一：利用x=rcosθ,y=rsinθ;可得ds=√(a^2θ^2+a^2)dθ,∫ds=∫√(a^2θ^2+a^2)dθ(积分区间是[0,2∏])法二：利用圆弧中的公式：ds=rdθ,则可

Question

关于阿基米德线的困惑
求阿基米德线 r= aθ 在0≤θ≤2∏的弧长?
法一：利用x=rcosθ,y=rsinθ; 可得ds=√(a^2θ^2+a^2)dθ,∫ds=∫√(a^2θ^2+a^2)dθ(积分区间是[0,2∏])
法二：利用圆弧中的公式：ds=rdθ,则可得∫ds=∫rdθ=∫aθdθ (积分区间是[0,2∏])
正确的方法是第一种,所以我要问的是第二种思想为什么不对啊?错在哪儿?望各位亲们给予回答
powerstone_83 ：法一就是根据ds=sqrt(dx^2+dy^2)化到r,θ的坐标,是正确的解题思路.我想知道的是法二的思想为什么不行,也就是根据圆弧弧长公式s=rθ,这种思想好像也没什么问题啊,

Answer 1

第一步就错了.你把ds=sqrt(dx^2+dy^2)化到r,θ坐标试试,绝对不是rdθ.rdθ只是沿着圆弧的距离微元,但你现在又不是沿着圆弧积分. 我就是说你方法二第一步错了. ds!=rdθ,除非你是沿着圆弧积分.因为距离有横向跟径向分...