如何证明拉姆齐定理R(3,3)=6多种方法

Question

如何证明拉姆齐定理R(3,3)=6
多种方法

Answer 1

多种方法这个要求我估计是达不到了...不过一个等价命题是比较好证明的：如果在平面上给出六个（任意三个不共线的）点,只能用红线和黑线在它们之间连接,证明要不有一个三边都为红色的三角形,要不有一个三边都为黑色的三角形；并且如果只给5个这样的点（任意三点不共线）,可以构造出既没有三边都为红色的三角形,也没有一个三边都为黑色的三角形.
考虑其中任意一个点A,设其余的点为BCDEF,那么根据抽屉原理,AB,AC,AD,AE,AF这五条边中至少有三条是同一种颜色的.
那么我们不妨设AB,AC,AD都是红色的.
1)如果BC,BD,CD这三条都是黑色的,那么BCD就是一个黑色三角形,满足要证的条件
2)如果BC,BD,CD这三条中至少有一条红色,那么结合AB,AC,AD都是红色,可以找到一个红色的三角形.
于是这六个点被红黑两种颜色连接的15条线段中,要不有一个三边都为红色的三角形,要不有一个三边都为黑色的三角形.
下面给出5个点的构造.（抱歉我不会上图,我描述下你自己画吧,挺容易的.）
假想一个正五边形,这个正五边形的五条边都是红色的.连出剩下的10条对角线,都用黑色.这样一来就的确既没有三边都为红色的三角形,也没有一个三边都为黑色的三角形.
这就是R(3,3)=6的证明.如果你感兴趣的话,可以试试看R(3,4)和R(4,4),都挺有意思的.有什么我没有写明白的地方,请一定追问,我会尽力解答.