涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支柱产业．某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒．年销售量y

Question

涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支柱产业．某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒．年销售量y（万盒）与售价x（元/盒）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）结合图象求y与x之间的函数关系；
（2）求“五味榨菜”礼盒的年获利w（万元）与x之间的函数关系，并求当售价为多少元时可以获得最大利润，最大利润是多少万元？
（3）去年，公司一直按照（2）中获得最大利润时的售价进行销售，今年在保持售价不变的基础上，公司发力品牌营销，决定拿出部分资金进行广告宣传．经调查发现：①每年有11万盒产品供给固定客户，其余产品全部被潜在客房购买；②若广告投入为a万元，则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍，则 m=-(1)/(900) (a-30 ) 2 +2 ；③受公司生产规模及资金限制，公司的年产量不超过28万盒，广告投入不超过32万元．问公司在广告上投入多少资金可以使公司获得最大利润，最大利润为多少万元？（利润=总销售额-总成本-广告费）

Answer 1

（1）设y=kx+b，将点（20，40），（30，20）代入得：

20k+b=40

30k+b=20

，
解得：

k=-2

b=80

，
故y=-2x+80；
（2）w=（x-20）×（-2x+80）=-2x ² +120x-1600=-2（x-30） ² +200，
当x=30时，w _最大 =200．
答：定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元．
（3）当x=30时，y=20，则潜在客户购买量为20-11=9万盒，
w=（30-20）×11+（30-20）×9[- (1)/(900) （a-30） ² +2]-a
=- (1)/(10) a ² +5a+200
=- (1)/(10) （a-25） ² +262.5，
由题意：11+9[- (1)/(900) （a-30） ² +2]≤28，
整理得：（a-30） ² ≥100，
解（a-30） ² =100得：a ₁ =40，a ₂ =20，

由图知0≤a≤20或a≥40，
又∵a≤32，
∴0≤a≤20，
在w=- (1)/(10) （a-25） ² +262.5中，当a＜25时，w随a的增大而增大，
故当a=20时，w _最大 =- (1)/(10) （20-25） ² +262.5=260．
答：当广告费为20万时，利润最大，最大利润为260万元．