甲,乙,丙分别给定一个正整数a,b,c,每人只知道自己的数,他们被告知1\a+1\b+1\c=1并都被询问以下两个问题：（1）您知道a+b+c的值吗?（2）您知道a,b,c分别的值吗?甲对两个问题都回答＂不知道＂,而

Question

甲,乙,丙分别给定一个正整数a,b,c,每人只知道自己的数,他们被告知1\a+1\b+1\c=1
并都被询问以下两个问题：
（1）您知道a+b+c的值吗?
（2）您知道a,b,c分别的值吗?
甲对两个问题都回答＂不知道＂,而乙听到甲的回答后,第一个问题回答＂知道＂,第二个问题回答＂不知道＂,当听到两人的回答后,丙应当如何回答这两个问题?

Answer 1

由题意,可知a、b、c都是大于1的自然数
等式两边去分母,得：bc+ac+ab=abc
整理：a(b+c)=(a-1)bc
所以 a/(a-1) = bc/(b+c)
情况(1).假设a=2
那么 bc/(b+c)=2
c=2b/(b-2)
因为 b、c都是自然数
那么 (b=3,c=6) 或者 (b=6,c=3) 或者 (b=c=4)
情况(2).假设a=3
那么 bc/(b+c)=3/2
c=3b/(2b-3)
因为 b、c都是自然数
那么 (b=2,c=6) 或者 (b=6,c=2) 或者 (b=c=3)
情况(3).假设a=4
那么 bc/(b+c)=4/3
c=4b/(3b-4)
因为 b、c都是自然数
那么 (b=2,c=4) 或者 (b=4,c=2)
情况(4).假设a=5
那么 bc/(b+c)=5/4
c=5b/(4b-5)
因为 b、c都是自然数
那么 此情况无解
情况(5).假设a=6
那么 bc/(b+c)=6/5
c=6b/(5b-6)
因为 b、c都是自然数
那么 (b=2,c=3) 或者 (b=3,c=2)
情况(6).当 a≥7 时,此题无解
分析以上6种情况,(4)和(6)已经排除
当出现情况(3)和(5)时,甲都能判断出a+b+c的值,与题意不符
可见,情况只能是(1)或者(2),即甲手里是2或者3
此时
如果 b=2,那么乙可以确定三个数是(2、3、6),既能知道a+b+c,也能知道a、b、c分别是多少
如果 b=3,那么乙无法确定是(2、3、6)还是(3、3、3),既不能知道a+b+c,也不能知道a、b、c分别是多少
如果 b=4,那么乙可以确定三个数是(2、4、4),既能知道a+b+c,也能知道a、b、c分别是多少
如果 b=6,那么乙无法确定是(2、6、3)还是(3、6、2),只能知道a+b+c,不能知道a、b、c分别是多少,符合题意
所以,当听到两人的回答后,丙根据自己手里的数字就能知道甲和乙数字分别是什么,从而知道a+b+c,也能知道a、b、c分别是多少.(其实,乙回答完了以后,甲也知道了~)