数列极限的问题数列中第1,3,5,7,9……项构成一个子数列第2,4,6,8,10……项构成另一个子数列如果这两个子数列的极限都相同且为a那么这个原数列的极限一定为a吗?如果是,怎么证明

Question

数列极限的问题
数列中
第1,3,5,7,9……项构成一个子数列
第2,4,6,8,10……项构成另一个子数列
如果这两个子数列的极限都相同且为a
那么这个原数列的极限一定为a吗?
如果是,怎么证明

Answer 1

是的.这是真命题.
证：
数列{a(2k+1)}和{a(2k)}都收敛于a.则
对任意的ε > 0,
1)存在K1 > 0,使得
当k > K1时,下式恒成立
|a(2k+1) - a| < ε,
2)存在K2 > 0,使得
当k > K2时,下式恒成立
|a(2k) - a| < ε.
于是取N = 2 * Max{K1,K2} + 1
则当n > N时,有
|an - a| < ε
恒成立.
所以数列{an}收敛于a.