如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ECD=∠BCA=90°，∠E=30°，D为AB的中点，BC=3，若△DEC绕点D顺时针旋转得到△DE′C′，若DE′，DC′分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N，则当△DMN为等边三角形时，BN

Question

如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ECD=∠BCA=90°，∠E=30°，D为AB的中点，BC=√(3)，若△DEC绕点D顺时针旋转得到△DE′C′，若DE′，DC′分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N，则当△DMN为等边三角形时，BN的长为

(√(3))/(3)

(√(3))/(3)

．

Answer 1

∵Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ECD=∠BCA=90°，∠E=30°，D为AB的中点，
∴∠B=30°，DC=DA=DB，
而BC=√(3)，
∴AC=(√(3))/(3)BC=1，
∴AB=2AC=2，
∴BD=1，
∵△DEC绕点D顺时针旋转得到△DE′C′，DE′，DC′分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N，则当△DMN为等边三角形，
∴∠DNM=60°，
∴∠NDB=∠DNB-∠B=60°-30°=30°，
∴ND=NB，
过N作NH⊥BD于H，如图，
在Rt△BNH中，BH=(1)/(2)BD=(1)/(2)，∠B=30°，
∴NH=(√(3))/(3)BH=(√(3))/(6)，
∴BN=2NH=(√(3))/(3)．
故答案为(√(3))/(3)．