如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m

Question

如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值和△BNC的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），
a=-1，
∴y抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得：

3k+b=0

b=3

，
解得：

k=-1

b=3

，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴M（m，-m+3），
又∵MN⊥x轴，
∴N（m，-m²+2m+3），
∴MN=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m（0<m<3）；
（3）存在，
S_△BNC=S_△CMN+S_△MNB=(1)/(2)|MN|•|OB|，
∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，
MN=-m²+3m=-（m-(3)/(2)）²+(9)/(4)，
当m=(3)/(2)时，MN的有最大值为(9)/(4)，
所以当m=(3)/(2)时，△BNC的面积最大为(1)/(2)×(9)/(4)×3=(27)/(8)．