一道应用题.今欲制一容量等于V(m^3)的无盖圆柱形桶,底用铜制,侧壁用铁制.已知每平方米铜价比铁价贵5倍,问应怎样的做法,才能是费用最省?我设的是半径为r,高为h,每平方米铁价为x.最后得出

Question

一道应用题.
今欲制一容量等于V(m^3)的无盖圆柱形桶,底用铜制,侧壁用铁制.已知每平方米铜价比铁价贵5倍,问应怎样的做法,才能是费用最省?
我设的是半径为r,高为h,每平方米铁价为x.
最后得出半径r=根号3次方下 V/5π 然后打算带到V里求h.
可是答案直接说的是 h=5r 我不知道这一步h=5r怎么求出来的?

Answer 1

这应该是高中的问题吧?.答案看上去简单,也要求导算出来的.
设铁的价格每平方米W,费用为Q(r),r为底面半径
则：
容量 V = π(r^2)h ,h=V/(π(r^2))
Q(r) = W（2πrh + 5π(r^2)) ,把 h 带入得
Q(r) = W (2V/r + 5π(r^2)) ,对r求导得
Q'(r) = W (-2V/(r^2) + 10πr ) ,令 Q'(r)=0 ,解得 r^3 = V/(5π)
底面半径既是最佳方案 r^3 = V/(5π) .
答案的另一种表示方法：
已经求得 h = V/(π(r^2)) = Vr/(π(r^3)) = Vr/(πV/(5π)) = 5r .