如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．（1）当∠BAD=75°时，求BC的长；（2）求证：BC∥AD∥FE；（3）设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，

Question

如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．

（1）当∠BAD=75°时，求

BC

的长；
（2）求证：BC∥AD∥FE；
（3）设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值．

Answer 1

（1）连接OB、OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，
∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30°，
∴∠BOC=120°，（2分）
故

BC

的长为(2πr)/(3)．（3分）
（2）证明：连接BD，∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，（5分）
同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE．（6分）
（3）过点B作BM⊥AD于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM．（7分）
∵AD为直径，∴∠ABD=90°，易得△BAM∽△DAB，∴AM：AB=AB：AD，
∴AM=(AB2)/(AD)=(x2)/(2r)，∴BC=2r-(x2)/(r)，同理EF=2r-(x2)/(r)，（8分）
∴L=4x+2（2r-(x2)/(r)）=-(2)/(r)x²+4x+4r=-(2)/(r)（x-r）²+6r，其中0＜x＜√(2)r，（9分）
∴当x=r时，L取得最大值6r．（10分）