已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明

Question

已知函数f（x）=x²+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；
（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=(f(e)−f(1))/(e−1)．

Answer 1

（1）函数f（x）=x²+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+(1)/(x)），
f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，
则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y-（1+a）=（2+2a）（x-1），
即y=（1+a）（2x-1）；
（2）①a=0时，f（x）=x²，因为x＞0，所以点（x，x²）在第一象限，
依题意，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0；
②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（-∞，0），alnx∈（-∞，0），
从而“∀x＞0，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0”不成立；
③a＜0时，由f（x）=x²+a（x+lnx）＞0得(1)/(a)＜−((1)/(x)+(1)/(x2)lnx)，
设g(x)＝−((1)/(x)+(1)/(x2)lnx)，g′（x）=(x−1)/(x3)+(2lnx)/(x3)，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

则g（x）≥g（1）=-1，从而(1)/(a)＜−((1)/(x)+(1)/(x2)lnx)＜−1，-1＜a＜0；
综上所述，常数a的取值范围-1＜a≤0．
（3）证明：直接计算知(f(e)−f(1))/(e−1)＝e+1+a+(a)/(e−1)，
设函数g（x）=f′（x）-(f(e)−f(1))/(e−1)=2x-（e+1）+(a)/(x)-(a)/(e−1)，
g(1)＝1−e+a−(a)/(e−1)＝(a(e−2)−(e−1)2)/(e−1)，g(e)＝e−1+(a)/(e)−(a)/(e−1)＝(e(e−1)2−a)/(e(e−1))，
当a＞e（e-1）²或a＜((e−1)2)/(e−2)时，g(1)g(e)＝−([a(e−2)−(e−1)2][a−e(e−1)2])/(e(e−1)2)＜0，
因为y=g（x）的图象是一条连续不断的