对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有

Question

对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有两个函数f（x）=log_t（x-3t）与g（x）=log_t（(1)/(x−t)）（t＞0且t≠1），现给定区间[t+2，t+3]．
（1）若t=(1)/(2)，判断f（x）与g（x）是否在给定区间上接近；
（2）若f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上都有意义，求t的取值范围；
（3）讨论f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是否是接近的．

Answer 1

（1）当t＝(1)/(2)时，f（x）-g（x）=log(1)/(2)[（x-(3)/(2)）（x-(1)/(2)）]=log(1)/(2)[(x−1)2−(1)/(4)]，
令h（x）=log(1)/(2)[(x−1)2−(1)/(4)]，
当x∈[(5)/(2)，(7)/(2)]时，h（x）∈[log(1)/(2)6，-1]，
即|f（x）-g（x）|≥1，
f（x）与g（x）是否在给定区间上是非接近的；
（2）由题意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0
∴0＜t＜1                                                
（3）∵|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|
假设f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的，
则有|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1
∴-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1…*
令G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），
当0＜t＜1时，[t+2，t+3]在x=2t的右侧，
即G（x）=log_t（x²-4tx+3t²）在[t+2，t+3]上为减函数，
∴G（x）_max=log_t（4-4t），
∴G（x）_min=log_t（9-6t），
所以由（*）式可得0＜t＜1，log_t（4-4t）≤1，log_t（9-6t）≥-1，
解得：0＜t≤(9−√(57))/(12)
因此，当0＜t≤(9−√(57))/(12)时，f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的；当t＞(9−√(57))/(12)时，
f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是非接近的．…（14分）