已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=xx2+x+1；⑤f（x）是定

Question

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：①f（x）=0； ②f（x）=x²； ③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=(x)/(x2+x+1)； ⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函数的序号是（　　）

A．①②④
B．①②⑤
C．①③④
D．①④⑤

Answer 1

对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立，故f（x）为F函数；
对于②，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数；
对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函数；
对于④，f（x）=(x)/(x2+x+1)，|f（x）|=(1)/(x2+x+1)•|x|≤(4)/(3)•|x|，故对任意的m＞(4)/(3)，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函数；
对于④，f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0，由奇函数的性质知，f（0）=0，故有|f（x）|＜2|x|．显然是F函数
故是F函数的序号是①④⑤，
故选：D．