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已知f(x)=ax-ln(-x),,其中x∈[-e,0),e是自然常数,a∈R,(Ⅰ)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值;(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,|f(x)|>g(x)+;(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?如果存
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已知f(x)=ax-ln(-x), ,其中x∈[-e,0),e是自然常数,a∈R, (Ⅰ)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,|f(x)|>g(x)+ ; (Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由。 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵f(x)=-x-ln(-x), , ∴当-e≤x<-1时,f′(x)<0,此时f(x)为单调递减; 当-1<x<0时,f′(x)>0,此时f(x)为单调递增, ∴f(x)的极小值为f(-1)=1. (Ⅱ)证明:∵f(x)的极小值,即f(x)在[-e,0)的最小值为1, ∴|f(x)| min =1, 令 , 又 , 当-e≤x<0时,h′(x)≤0,h(x)在[-e,0)上单调递减, ∴ =1=|f(x)| min , ∴当x∈[-e,0)时,|f(x)|> ; (Ⅲ)假设存在实数a,使f(x)=ax-ln(-x)有最小值3,x∈[-e,0), , ①当 ,即 时,由于x∈[-e,0),则f′(x)= , ∴函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数, ∴f(x) min =f(-e)=-ae-1=3,解得 (舍去); ②当 即 时,则当 时,f′(x)= , 此时f(x)=ax-ln(-x)是减函数; 当 时,f′(x)= , 此时f(x)=ax-ln(-x)是增函数, ∴ ,解得a=-e 2 ,符合 ; ③当 时,则f′(x)= , ∴函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数, ∴f(x) min =f(-e)=-ae-1=3,解得 (舍去); 综上所述存在实数a=-e 2 . |
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