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(2014•河东区一模)设函数f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≤M|x|对一切的实数x都成立,则称f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数:①f(x)=2x,②f(x)=x2+1,③f(x

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(2014•河东区一模)设函数f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≤M|x|对一切的实数x都成立,则称f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数:
①f(x)=2x,
②f(x)=x2+1,
③f(x)=sinx+cosx,
④f(x)=
x
x2−x+3

⑤f(x)是定义在实数集上的奇函数,且对一切的x1,x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|.
其中是“倍约束函数”的有(  )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
▼优质解答
答案和解析
∵对任意x∈R,存在正数M,都有|f(x)|≤M|x|成立
∴对任意x∈R,存在正数K,都有 M≥
|f(x)|
|x|
成立
∴对于①f(x)=2x,易知存在M=2符合题意;
对于②,
|f(x)|
|x|
=
x2+1
|x|
=|x|+
1
|x|
≥2,故不存在满足条件的M值,故②错误;
对于③,f(x)=sinx+cosx,由于x=0时,|f(x)|≤M|x|不成立,故③错误;
对于④f(x)=
x
x2−x+3
|f(x)|
|x|
=
1
|x2−x+3|
4
11
恒成立,故④正确;
对于⑤,当x1=x,x2=0时,由|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|得到|f(x)|≤2|x|成立,这样的M存在,故⑤正确;
故是“倍约束函数”的函数有3个
故选C.