关于矩阵的问题A1A2.An=E（句号代表省略号,有n个）,AiE均是n阶矩阵,证明A1A2.An所有排列的乘积,有n!/2组仍使等式成立.帮我解决下,谢谢您说的好像跟它完全没有关系。。。。

Question

关于矩阵的问题
A1A2.An=E （句号代表省略号,有n个）,Ai E均是n阶矩阵,证明A1 A2.An所有排列的乘积,有n!/2组仍使等式成立.
帮我解决下,谢谢
您说的好像跟它完全没有关系。。。。

Answer 1

这题是错的,除非n=1,2,3,否则不可能保证有那么多组解,要注意n!/2是偶排列的个数,但是显然没有那么多解.
从A1A2.An=E出发,从中间某处切断后交换可以得到一组解,即
(A(k+1).An)*(A1...Ak)=E
而且只能保证这样的n组解,也就是只有1到n的循环才行.
2楼的毛病在于后面所有的解其实都包含在前n组中,即使后面的解独立也不会超过n(n+1)/2,离n!/2差很多.
当然,如果你还不相信结论是错的,自己去验证这个反例：
A1=[1 1; 0 2]
A2=[1 2; 0 2]
A3=[1 3; 0 2]
A4=[1 -11/8; 0 1/8]
有且仅有4组解