设函数f（x）=exex+3，g（x）=-2x2+ax-lnx（a∈R）（Ⅰ）若函数g（x）在区间（14，2）上不单调，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈（0，e），都有唯一的x0∈[e-4，e]，使得f（x）=g（x0）+2x02

Question

设函数f（x）=(ex)/(ex)+3，g（x）=-2x²+ax-lnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数g（x）在区间（(1)/(4)，2）上不单调，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，e），都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得f（x）=g（x₀）+2x₀²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵g′(x)＝(−4x2+ax−1)/(x)且g（x）在区间((1)/(4)，2)上不单调，∴-4x²+ax-1=0区间((1)/(4)，2)上有两不等实根或有一根，
即a＝4x+(1)/(x)区间((1)/(4)，2)上有两不等实根或有一根，
令ϕ(x)＝4x+(1)/(x)，ϕ（x）在区间((1)/(4)，(1)/(2))上单调递减，在区间((1)/(2)，2)上单调递增，∵ϕ((1)/(4))＝5，ϕ(2)＝(17)/(2)，ϕ((1)/(2))＝4，∴a的取值范围是(4，(17)/(2))．
（Ⅱ）∵f′（x）=e^1-x（1-x），
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
又f（0）=3，f（1）=4，f（e）=e^2-e+3＞3，
∴f（x）的值域为（3，4]，
记h（x）=g（x）+2x²=ax-lnx，m=f（x），
原问题等价于：∀m∈（3，4]，存在唯一的x0∈[e−4，e]，使得h（x₀）=m成立．∵h′(x)＝a−(1)/(x)＝(ax−1)/(x)，x∈[e−4，e]
①当a≤(1)/(e)时，h′（x）≤0恒成立，h（x）单调递减，由h(x)max＝h(e−4)＝ae−4+4≥4，h（x）_min=h（e）=ae-1≤3，解得：0≤a≤(1)/(e)．
②当a≥e⁴时，h′（x）≥0恒成立，h（x）单调递增，h(x)min＝h(e−4)＝ae−4+4＞4，不合题意，舍去
③当(1)/(e)＜a＜e4时，h（x）在[e−4，(1)/(a)]上单调递减，在[(1)/(a)，e]上单调递增，
且h（e^-4）=ae^-4+4＞4，h（e）=ae-1，
要满足条件则ae-1≤3，∴(1)/(e)＜a≤(4)/(e)．
综上所述：a的取值范围是

作业帮用户 2016-11-28 举报