如图，正方形ABCD，AM⊥MN，DN交BC延长线于F．（1）如图1，M为BC中点，AM=MN，则△CDF的形状是；（2）如图2，E是AB上一动点，M为EC中点，CF=CD，则AM与MN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Question

如图，正方形ABCD，AM⊥MN，DN交BC延长线于F．
（1）如图1，M为BC中点，AM=MN，则△CDF的形状是___；
（2）如图2，E是AB上一动点，M为EC中点，CF=CD，则AM与MN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

（1）△CDF是等腰直角三角形；理由如下：
作NG⊥CF于G，如图1所示：
则∠MGN=90°，NG∥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，∠BAM+∠AMB=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMG=90°，
∴∠BAM=∠GMN，
在△ABM和△MGN中，

∠B=∠MGN	amp;
∠BAM=∠GMN	amp;
AM=MN	amp;

，
∴△ABM≌△MGN（AAS），
∴BM=GN，AB=MG，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM=(1)/(2)BC，
∴GN=(1)/(2)BC=(1)/(2)CD，CG=CM，
∴GN是△CDF的中位线，
∴G是CF的中点，
∴CD=CF，
∴△CDF是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形．
（2）AM=MN；理由如下：
连接BM、DM；如图2所示：
∵M为EC中点，∠B=90°，
∴MB=(1)/(2)EC=MC=EM，
∴∠MBC=∠MCB，
∴∠ABM=∠DCM，
在△ABM和△DCM中，

AB=DC	amp;
∠ABM=∠DCM	amp;
BM=CM	amp;

，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴AM=DM，
∴∠MAD=∠ADM，
设∠MAD=∠ADM=x，
∴∠MDC=90°-x，
∴∠DMN=90°-（180°-2x）=2x-90°，
∵CF=CD，
∴∠F=∠CDF=45°，
∴∠MDN=135°-x，
∴∠DNM=180°-∠MDN-∠DMN=180°-（90°-x+45°）-（2x-90°）=135°-x，
∴∠MDN=∠MND，
∴MN=MD，
∴AM=MN．