X,Y独立同分布,求XY,X的联合概率密度函数的思路.

Question

X,Y独立同分布,求XY,X的联合概率密度函数的思路.

Answer 1

先直接把俩密度函数乘一块求出x,y联合密度
举例
都是指数1分布
fx(x)=e^(-x)
fy(y)=e^(-y)
f(x,y)=e^(-x-y)
都是泊松u分布
fx(x)=(u^x)e^(-u)/x!
fy(y)=(u^y)e^(-u)/y!
f(x,y)=u^(x+y)e^(-2u)/(x!y!)
x=v
y=u/v
x,y换底到u,v的 jacobian=|dx/du* dy/dv- dx/dv* dy/du|=|0-1/v|=|1/v|=1/|x|
把原先的f(x,y)乘以这个jacobian就能换底
比如第一个例子
在原式所以就乘以1/x,然后把y都变成xy的形式
=e^(-x-xy/x)/x
第二个例子
=f(x,y)=u^(x+xy/x)e^(-2u)/(x!(xy/x)!)/x