随机变量X的密度函数为f（x）=12sinx0，0＜x＜π其他．A表示事件“X≥π3”（1）求P（A）；（2）对X进行4次独立观测，记A出现的次数为Y，求其概率分布及Y2的数学期望．

Question

随机变量X的密度函数为f（x）=

(1)/(2)sinx

0

，

0＜x＜π

其他

．A表示事件“X≥(π)/(3)”
（1）求 P（A）；
（2）对X进行4次独立观测，记A出现的次数为Y，求其概率分布及Y²的数学期望．

Answer 1

（1）P（A）=P（X≥(π)/(3)）=

∫

π (π)/(3)

f(x)dx=

∫

π (π)/(3)

(1)/(2)sinxdx=−(1)/(2)cosx

|

π (π)/(3)

=(1)/(4)．
（2）由题意可得，Y服从二项分布B（4，(1)/(4)），
所以P（Y=k）=

C

k 4

((3)/(4))4−k((1)/(4))k．
因此，Y的概率分布如下：

Y	0	1	2	3	4
P	(81)/(256)	(27)/(64)	(27)/(128)	(3)/(64)	(1)/(256)

利用二项分布的性质可得，
E（Y）=4×(1)/(4)=1，
D（Y）=4×(1)/(4)×(3)/(4)=(3)/(4)．
由方差的计算公式可得，
E（Y²）=[E（Y）]²+D（Y）=(7)/(4)．